Как найти коэффициент жёсткости пружины: формула, определение

Для начала определим основные термины, которые будут использоваться в данной статье. Известно, если воздействовать на тело извне, оно либо приобретет ускорение, либо деформируется. Деформация — это изменение размеров или формы тела под влиянием внешних сил. Если объект полностью восстанавливается после прекращения нагрузки, то такая деформация считается упругой; если же тело остается в измененном состоянии (например, согнутом, растянутом, сжатым и т. д. ), то деформация пластическая.

Примерами пластических деформаций являются:

  • лепка из глины;
  • погнутая алюминиевая ложка.

В свою очередь, упругими деформациями будут считаться:

  • резинка (можно растянуть ее, после чего она вернется в исходное состояние);
  • пружина (после сжатия снова распрямляется).

В результате упругой деформации тела (в частности, пружины) в нем возникает сила упругости, равная по модулю приложенной силе, но направленная в противоположную сторону. Сила упругости для пружины будет пропорциональна ее удлинению. Математически это можно записать таким образом:

где F — сила упругости, x — расстояние, на которое изменилась длина тела в результате растяжения, k — необходимый для нас коэффициент жесткости. Указанная выше формула также является частным случаем закона Гука для тонкого растяжимого стержня. В общей форме этот закон формулируется так: «Деформация, возникшая в упругом теле, будет пропорциональна силе, которая приложена к данному телу». Он справедлив только в тех случаях, когда речь идет о малых деформациях (растяжение или сжатие намного меньше длины исходного тела).

Жесткость пружины. Как рассчитать.

Измерение параметров жесткости пружин разных типов

При производстве на предприятии и для применения необходимо определить способность пружины выдерживать определенные типы нагрузок. Для этого высчитывается т.н. коэффициент Гука – обозначение жесткости пружины, от которого зависит её надёжность. На этот параметр влияет материал, выбранный для изготовления. Это может быть сталь, легированная кремнием, ванадием, марганцем, другими добавками. Также применяются нержавейка, бериллиевая и кремнемарганцевая бронза, сплавы на основе никеля и титана.

Если деталь выпускается для применения при высоких нагрузках, экстремальных температурах, используются специальные марки легированной стали. Нижегородская метизная корпорация имеет возможность производить пружины под заказ, создавая изделия с заданными характеристиками.

Что такое жесткость?

Говоря о практике, а не физических терминах, это сила, приложив которую, можно сжать пружину. Если вы знаете прилагаемое усилие, можно определить, какой будет деформация, и наоборот. Это существенно облегчает вычисления.

Коэффициент высчитывается для пружин кручения, растяжения, изгиба, сжатия – всех наиболее популярных в промышленности разновидностей этого изделия. Также следует отметить два основных типа:

  • С линейной (постоянной) жесткостью;
  • С прогрессивной (зависящей от положения витков) жесткостью.

Часто производитель наносит на готовую продукцию пометку краской. Если такого обозначения нет, применяется формула определения жесткости пружины через массу и длину, упрощающая задачу. Она изначально разрабатывалась для пружин растяжения, была получена методом измерения соответствия массы грузы с изменениями геометрии.

Также данный параметр может быть прогрессирующим – растущим — или регрессирующим – убывающим. Во втором случае параметр «жесткости» принято называть «мягкостью». В отдельных механизмах, например, в автомобилестроении, этот параметр особенно актуален.

Какие вводные данные требуются?

При расчёте важно знать следующую информацию:

  • Из какого материала выполнено изделие;
  • Точный диаметр витков – Dw;
  • Общий диаметр самой пружины – Dm;
  • Количество витков – Na.

Таким образом, к коэффициенту жесткости пружинного механизма может применяться формула:

k=G*(Dw)^4/8 * Na * (Dm)^3.

Переменная G означает модуль сдвига. Это значение можно найти в таблицах для разных материалов. К примеру, у пружинной стали G=78,5 ГПа.

Далее разберемся, как определить жесткость пружины по формуле:

Длина L бывает двух типов:

  • L1 – измеренная в вертикальном положении без груза;
  • L2 – полученная при подвешивании груза с точно известной массой.

Например, 100-граммовая гиря, закреплённая в нижней части, воздействует с силой F, равной 1 Н. Получаем разницу между двумя показателями длины:

При этом следует уточнить, что степень жесткости не определяет распрямление в исходное состояние. На него воздействуют сразу несколько факторов.

Насколько важен показатель, и на что он влияет?

Характеристики пружины важны не только для соответствия ГОСТам и проведения сертификации. Они влияют на сроки эксплуатации изделий, в которых используются, а это огромное количество приборов, деталей, механизмов, от мебели, до различных транспортных средств.

Поэтому данная величина напрямую влияет на надёжность готовых изделий, оборудования, техники, в которых используются элементы, содержащие пружины.

Часто люди интересуются, как рассчитать жесткость пружины цилиндрической винтовой. Для таких случаев учитывается не только модуль сдвига, но и параметр Rs – напряжение, допускаемое при кручении. Здесь в расчёт берётся тип материала, его физические свойства, механические характеристики.

Следующий вопрос – в чем измеряется коэффициент жесткости пружины при расчётах. Традиционно в системе измерений, принятой в нашей стране принято записывать значение в Н/м – ньютонах на один метр. Также это значение в качестве альтернативного варианта может записываться в килограммах на квадратный сантиметр, дин/см, граммах на квадратный сантиметр (расчёты в системе СГС).

№ 07 (v. 3) Измерение жёсткости пружины

  • » onclick=»window.open(this.href,’win2′,’status=no,toolbar=no,scrollbars=yes,titlebar=no,menubar=no,resizable=yes,width=640,height=480,directories=no,location=no’); return false;» rel=»nofollow»> Печать
  • E-mail

Лабораторная работа № 7

Тема: Измерение жёсткости пружины.

Цель работы: состоит в том, чтобы определить коэффициент жёсткости пружины динамометра.

Оборудование:

  • штатив с перекладиной и муфтой;
  • набор грузов;
  • динамометр;
  • направляющая рейка;
  • крючок.

Указания к работе

Способ измерения жёсткости пружины, которым пользуются в работе, основан на использовании графика зависимости силы упругости, возникающей в пружине при её растяжении от величины удлинения.

Удлиняться пружина динамометра будет под действием веса подвешенных к нему грузов. Удлинение происходит до тех пор, пока вес груза не уравновесится силой упругости пружины.

Удлинение пружины измеряется непосредственно по шкале направляющей рейки.

Величину силы упругости определяют по показаниям динамометра.

1. Подготовьте таблицу для записи результатов измерений.

№ опыта Модуль силы упругости, Н Модуль удлинения, 10 -3 м
1

2. Закрепите муфту с перекладиной на стержне штатива на высоте около 30 см от поверхности стола. На перекладину повесьте динамометр, как показано на рисунке. Направляющую рейку установите вертикально. Её шкала должна располагаться вблизи указателя динамометра.

3. Заметьте положение стрелки динамометра относительно шкалы.

4. Подвесьте к динамометру один груз и по шкале с миллиметровыми делениями определите удлинение его пружины в миллиметрах. Удлинение находят как разницу двух положений указателя динамометра на шкале при нагруженном и ненагруженном динамометре.

5. По шкале динамометра измерьте величину силы упругости.

6. Результаты измерений занесите в таблицу.

7.Подвесьте к динамометру два груза и вновь определите удлинение пружины и величину силы упругости.

8. Повторите опыт с тремя и четырьмя грузами. Чтобы в случае трёх и четырёх грузов они не касались поверхности стола, необходимо штатив расположить на краю стола, а перекладину расположить так, чтобы грузы свешивались за границы стола. Направляющей рейкой и в этом случае можно измерить удлинение пружины динамометра.

Читайте также  Обои лоймина отзывы

9. Начертите координатные оси для построения графика зависимости силы упругости от величины удлинения.

10. Нанесите на координатной плоскости соответствующие результатам каждого опыта точки.

11. Постройте график зависимости силы упругости от величины удлинения пружины. Если точки не ложатся на одну прямую, то провести линию графика надо так, чтобы половина точек расположилась по одну сторону от нее, а другая половина — по другую.

12. По графику определите коэффициент жёсткости пружины. Для этого в средней части графика возьмите произвольную точку, опустите от нее перпендикуляры на координатные оси и определите соответствующие этой точке величины удлинения и силы упругости. По полученным значениям этих величин на основании закона Гука вычислите коэффициент жёсткости (или, короче, жёсткость) пружины: к = Fупр/x.

Задание. Пружина в отсутствии нагрузки имеет длину $l=0,01$ м и жесткость равную 10 $frac<Н><м>. $Чему будет равна жесткость пружины и ее длина, если на пружину действовать силой $F$= 2 Н? Считайте деформацию пружины малой и упругой.

Решение. Жесткость пружины при упругих деформациях является постоянной величиной, значит, в нашей задаче:

При упругих деформациях выполняется закон Гука:

[F=kDelta l left(1.2right).]

Из (1.2) найдем удлинение пружины:

Длина растянутой пружины равна:

Вычислим новую длину пружины:

Ответ. 1) $k’=10 frac<Н><м>$; 2) $l’=0,21$ м

Задание. Две пружины, имеющие жесткости $k_1$ и $k_2$ соединили последовательно. Какой будет удлинение первой пружины (рис.3), если длина второй пружины увеличилась на величину $Delta l_2$?

Решение. Если пружины соединены последовательно, то деформирующая сила ($overline$), действующая на каждую из пружин одинакова, то есть можно записать для первой пружины:

Для второй пружины запишем:

Если равны левые части выражений (2.1) и (2.2), то можно приравнять и правые части:

[k_1Delta l_1=k_2Delta l_2left(2.3right).]

Из равенства (2.3) получим удлинение первой пружины:

Ответ. $Delta l_1=frac$

Ход работы

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

  • Что такое деформация?
  • Сформулировать закон Гука
  • Что такое жесткость и в каких единицах она измеряется.
  • Дайте понятие об абсолютной и относительной погрешности.
  • Причины, приводящие к появлению погрешностей.
  • Погрешности, возникающие при измерениях.
  • Как чертят графики результатов эксперимента.

Возможные ответы учащихся:

  • Деформация – изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением относительно друг друга. Деформация представляет собой результат изменения межатомных расстояний и перегруппировки блоков атомов. Деформации разделяют на обратимые (упругие) и необратимые (пластические, ползучести). Упругие деформации исчезают после окончания действия приложенных сил, а необратимые — остаются. В основе упругих деформаций лежат обратимые смещения атомов металлов от положения равновесия; в основе пластических — необратимые перемещения атомов на значительные расстояния от исходных положений равновесия.
  • Закон Гука: «Сила упругости, возникающая при деформации тела, пропорциональна его удлинению и направлена противоположно направлению перемещения частиц тела при деформации».

    F
    упр = –kx
  • Жесткостью называют коэффициент пропорциональности между силой упругости и изменением длины пружины под действием приложенной к ней силы. Обозначают k. Единица измерения Н/м. Согласно третьему закону Ньютона, приложенная к пружине сила по модулю равна возникшей в ней силе упругости. Таким образом жесткость пружины можно выразить как:

    k = Fупр/x

    Абсолютной погрешностью приближенного значения называется модуль разности точного и приближенного значений.

    Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.

    ε = х/х

  • Измерения никогда не могут быть выполнены абсолютно точно. Результат любого измерения приближенный и характеризуется погрешностью – отклонением измеренного значения физической величины от ее истинного значения. К причинам, приводящим к появлению погрешностей, относятся:
    – ограниченная точность изготовления средств измерения.
    – изменение внешних условий (изменение температуры, колебание напряжения)
    – действия экспериментатора (запаздывание с включением секундомера, различное положение глаза. ).
    – приближенный характер законов, используемых для нахождения измеряемых Величин
  • Погрешности, возникающие при измерениях, делятся на систематические и случайные. Систематические погрешности – это погрешности, соответствующие отклонению измеренного значения от истинного значения физической величины всегда в одну сторону (повышения или занижения). При повторных измерениях погрешность остается прежней. Причины возникновения систематических погрешностей:
    – несоответствие средств измерения эталону;
    – неправильная установка измерительных приборов (наклон, неуравновешенность);
    – несовпадение начальных показателей приборов с нулем и игнорирование поправок, которые в связи с этим возникают;
    – несоответствие измеряемого объекта с предположением о его свойствах.

Случайные погрешности – это погрешности, которые непредсказуемым образом меняют свое численное значение. Такие погрешности вызываются большим числом неконтролируемых причин, влияющих на процесс измерения (неровности на поверхности объекта, дуновение ветра, скачки напряжения и т.д.). Влияние случайных погрешностей может быть уменьшено при многократном повторении опыта.

Погрешности средств измерений. Эти погрешности называют еще инструментальными или приборными. Они обусловлены конструкцией измерительного прибора, точностью его изготовления и градуировки.

При построении графика по результатам опыта экспериментальные точки могут не оказаться на прямой, которая соответствует формуле Fупр = kx

Это связано с погрешностями измерения. В этом случае график надо проводить так, чтобы примерно одинаковое число точек оказалось по разные стороны от прямой. После построения графика возьмите точку на прямой (в средней части графика), определите по нему соответствующие этой точке значения силы упругости и удлинения и вычислите жесткость k. Она и будет искомым средним значением жесткости пружины kср.

III. Порядок выполнения работы

1. Закрепите на штативе конец спиральной пружины (другой конец пружины снабжен стрелкой-указателем и крючком см. рис.).

2. Рядом с пружиной или за ней установите и закрепите линейку с миллиметровыми делениями.

3. Отметьте и запишите то деление линейки, против которого приходится стрелка-указатель пружины.

4. Подвесьте к пружине груз известной массы и измерьте вызванное им удлинение пружины.

5. К первому грузу добавьте второй, третий и т. д. грузы, записывая каждый раз удлинение |х| пружины.

По результатам измерений заполните таблицу:

Как появился первый вариант формулы

Формула для расчета жесткости пружины, которая получила название закона Гука, была установлена экспериментально. В процессе опытов с подвешенными на упругом элементе грузами разной массы замерялась величина его растяжения. Так и выяснилось, что одна и та же испытуемая деталь под разными нагрузками претерпевает различные деформации. Причем подвешивание определенного количества гирек, одинаковых по массе, показало, что каждая добавленная/снятая гирька увеличивает/уменьшает длину упругого элемента на одинаковую величину.

В итоге этих экспериментов появилась такая формула: kx=mg, где k – некий постоянный для данной пружины коэффициент, x – изменение длины пружины, m – ее масса, а g – ускорение свободного падения (примерное значение – 9,8 м/с²).

Так было открыто свойство жесткости, которое, как и формула для определения коэффициента упругости, находит самое широкое применение в любой отрасли промышленности.

$langle krangle=dfrac<2> <0.05>= 40$ Н.

1. К чему приложены сила упругости и вес груза?

Вес приложен к пружине, а сила упругости приложена к центру масс тела.

За исправления спасибо Кираму.

2. Для любого ли количества грузов будет выполняться прямая пропорциональная зависимость между силой упругости и абсолютным удлинением? Почему?

Нет. Количество грузов не влияет на область действия закона Гука. Если продолжать удлинять материал, произойдёт пластическая деформация, в которой уже не будет выполняться прямая пропорциональная зависимость.

Выводы: если к пружине подвесить груз массой, то под действием груза пружина удлиняется. На покоящийся относительно пружины груз действуют две компенсирующие друг друга силы — тяжести и упругости.

Пружина. Виды и применение. Жесткость и нагрузка. Особенности

Пружина – упругий, обычно витой элемент механизмов, отвечающий за возврат приложенного усилия. В зависимости от способа навивки работает в направлении сжатия или растяжения.

Виды пружин
По конструктивному признаку осуществляется классификация пружин на несколько разновидностей:
  • Винтовые.
  • Торсионные.
  • Спиральные.
  • Тарельчатые.
  • Волновые.

Винтовые являются самыми широко распространенными. Они имеют форму трубки. Элемент получают методом навивки проволоки или прута на цилиндрический шаблон. После чего заготовка поддается закалке и отпуску. В зависимости от способа навивки зависит направление работы пружины. Наличие зазоров между витками позволяет ее использовать как элемент сжатия. Примером являются пружины в шариковых ручках, подвесках автомобилей, мототранспорта. При плотной навивке пружина срабатывает на растяжения. Такие элементы имеют на краях проушины зацепы. Их используют в механизмах автоматического закрывания двери.

Торсионные имеют аналогичное устройство, что и винтовые. Однако они устроены так, чтобы срабатывать на кручение и изгиб. Концы таких пружин сделаны удлиненными для зацепа при установке. При воздействии на скручивание элемент противодействует. Торсионные пружины, к примеру, используются в сложных механизмах закрывания дверей.

Спиральные имеют форму ленты закрученной в спираль. Этот элемент применяется для накопления энергии. При установке в механизм он закручивается, накапливая за счет своей упругости энергию на раскручивание. Именно такие пружины применяются в часовых механизмах, работающих на заводе без использования электрического источника энергии. Также их используют в ручных стартерах бензопил, мотокос для возврата шнура обратно и т.п.

Тарельчатая пружина имеет вид шайбы выгнутой под конус. За счет упругости металла она противодействует сжатию. Они постоянно подпирают гайки или другие комплектующие. Это достаточно редко применяемый элемент, однако он получил широкое распространение в механизмах рулевых реек большинства автомобилей.

Волновые представляют собой ленту уложенную по синусоиде, то есть волной. Она навивается по кругу, как и винтовые изделия. Однако благодаря волнообразной укладки при сжатии, она воздействует обратно одинаково по всей плоскости без стремления уйти в сторону. Такое ее качество важно при изготовлении точных механизмов. Волновой элемент также может изготавливаться в виде незамкнутого кольца или тарельчатой пружины с синусоидой.

Классификация пружин по способу нагрузки

Более важным параметром, чем само устройство пружины, является способ ее нагрузки. При изготовлении различных механизмов возможно предусмотреть установку в него пружины практически любого устройства, главное чтобы она подходила по способу нагрузки.

Выполняется классификация пружин на следующие разновидности по воздействию:
  • Изгиб.
  • Кручение.
  • Растяжение.
  • Сдавливание.

Пружины изгиба противодействуют на усилие, нацеленное на их изгиб. Это качество используется для поджатия деталей механизмов между собой. Примером являются тарельчатые пружины.

Кручения оснащаются удлиненными ровными краями зацепами, которые фиксируются в механизмах. При попытке изменения их нормального положения в любую сторону они за счет упругости навивки основного тела возвращаются обратно. Примером таких элементов выступают торсионные пружины в бельевых прищепках.

Сжатия и растяжения имеют похожее устройство и отличаются только величиной зазора между витками навивки. Элемент сжатия при сдавливающем воздействии оказывает противодействие. Именно такой тип пружин используется в прижимных клавишах. Пружина растяжения наоборот стремится принять свою нормальную форму на действие направленное на ее удлинение. Она используется в конструкции кроватей раскладушек, спусковых механизмах огнестрельного оружия.

Из чего сделана пружина

Для производства пружин применяется специализированная проволока, имеющая повышенные параметры упругости. Из нее делают все виды пружин, кроме тарельчатых. Последние изготавливаются путем штамповки по листовой стали.

Пружинная проволока производится методом проката из определенного стального сплава. Благодаря специализированному составу, после термообработки, готовое изделие не ломается при механическом воздействии в приделах расчетных нагрузок. Также оно приобретает повышенную устойчивость к снижению упругости после многократной деформации. Однако все пружины без исключения поддаются износу. Он проявляется в виде потери упругости. Со временем они перестают принимать, после деформации, свое изначальное положение, поэтому нуждаются в замене.

Жесткость пружин
Рабочая жесткость пружины зависит от ряда параметров:
  • Химического состава металла.
  • Способа термической обработки.
  • Диаметра применяемой проволоки.
  • Числа витков.
  • Частоты витков.

Одним из самых важных параметров при выборе пружины является коэффициент ее жесткости. Он определяет, какое усилие требуется для сжатия или растяжения готового изделия. Этот параметр является следствием сложных инженерных расчетов, учитывающих множество показателей механизма, в который необходима установка пружины. Для рядового пользователя более привычной выступает оценка по уровню стойкости измеряемой в единицах веса. Большинство пружин просто оценивают по тому, какой массы груз может ее полностью деформировать.

Если пружина будет подходить к механизму по длине и диаметру, но при этом для ее деформации нужно значительно большее усилие, чем требуется, то система не сможет работать. По сути, развиваемое прижимное усилие не способно вызвать отклик упругости. Если же наоборот жесткости пружины окажется недостаточно, то растянувшись под нагрузкой, она не вернется обратно. Аналогичная ситуация будет и при сжатии.

Жесткость всех видов пружин зависима от температуры. При их подборе оптимально проводить оценку жесткости в той температуре, в которой она будет использоваться. Чем теплее, до определенного порога устойчивости металла, тем выше упругость. При охлаждении структура металла меняется, и пружины приобретают меньший ход и повышенную хрупкость. При эксплуатации в обычных условиях это почти незаметно. Однако такое качество явно проявляется в случае использования тонких пружин в условиях Севера.

Как сделать пружину в домашних условиях

Практически в каждом механизме, где применяется пружина, она имеет свои параметры диаметра и высоты. Вследствие этого после ее износа возникают трудности с заменой. Для достаточно современных механизмов пружины можно заказать у поставщика запчастей, но для старых уже снятых с производства это невозможно.

В таком случае пружину можно изготовить самостоятельно. Для ее производства в домашних условиях требуется наличие пружинной проволоки. Так как она чаще продается на вес от 1 кг, то этого излишне много для получения одной пружины. В таком случае можно приобрести в хозяйственном или автомагазине любую пружину сделанную из проволоки нужного диаметра. Используя ее как источник материала можно изготовить изделие требуемых параметров повторив фабричную технологию в упрощенном варианте. При термообработке пружин на производстве их нагрев и охлаждение делается с точным контролем температуры измерительным оборудованием. В домашних условиях можно приблизительно контролировать нагрев металла по цвету побежалости. При разной температуре тот меняет свой цвет. Сначала он сереет, потом синеет, краснеет, желтеет и становится почти белым.

Пружина донор разогревается любым доступным способом. Можно использовать горн, газовую или бензиновую горелку. Она греется до темно-красного цвета побежалости, после чего оставляется остывать на воздухе. Такая термообработка называется отжиг. Структура металла пружины меняется, и он становится податливым. Благодаря этому она легко разматывается на проволоку.

Далее проволока наматывается на шаблон нужного диаметра. В его качестве может использоваться прут, болт и т.д. Витки делаются вплотную. Затем заготовка снимается с бланка и из нее формируется необходимая пружина. Если она должна работать на сжатие, то витки разводятся. При изготовлении пружины растяжения в ней формируются проушины. Если же изготавливается торсионное изделие, то края оставляются длинными и ровными.

После этого заготовка снова разогревается до темно-красного цвета и остужается в машинном масле. Это закаляет металл, делая его снова твердым, упругим, но хрупким. Затем изделие снова греется горелкой, но уже до светло-серого цвета и оставляется остужаться на воздухе. В результате металл отпускается. Он сохраняет упругость, но теряет хрупкость. В таком виде изделие уже может использоваться по назначению.

Формы витых пружин
Витые пружины бывают:
  • Цилиндрические.
  • Конические.

Навитые на бланк пружины могут иметь не только правильную цилиндрическую форму, но и коническую. В ней каждый новый виток уже предыдущего. Такое изделие применяется в том случае, если на него дополнительно ложиться поддерживающая функция. Оно не только срабатывает на возврат при деформации, но и работает как опора. Конические пружины можно встретить на дорожных классических велосипедах, где они поддерживают сидение.

Цилиндрические и конические пружины могут быть обычными или составными. Составные являются сдвоенными. Это соединенные вместе 2 пружины разного диаметра. Одна располагается снаружи, а вторая ставится между ее витками. Таким образом, они работают вместе, обеспечивая необходимый уровень жесткости.

Расчет цилиндрических винтовых пружин

В технике наиболее распространены цилиндрические винтовые пружины из стали круглого поперечного сечения, работающие на растяжение или сжатие. Покажем порядок расчета такой пружины, имеющей небольшой угол подъема витков ( α ≤1 5°).

В качестве примера рассмотрим цилиндрическую винтовую пружину с диаметром D винтовой оси, диаметром d проволоки, числом витков n , сжимаемую силой F (рис. 5) .

Для определения внутренних силовых факторов применим известный нам метод сечений. Рассечем пружину плоскостью, проходящей через ось, и отбросим нижнюю часть пружины. Ввиду того, что угол α подъема витков мал, будем считать сечение витка поперечным, т. е. кругом диаметром d .

Рассматривая равновесие верхней части пружины (рис. 6) , видим, что в поперечном сечении витка возникают два внутренних силовых фактора:
— поперечная сила Q = F
— крутящий момент МКР = FD / 2 .
Отсюда следует, что в поперечном сечении витка пружины действуют только касательные напряжения сдвига и кручения.

Будем считать, что напряжения сдвига распределены по сечению равномерно, а напряжения кручения определяются, как при кручении прямого кругового цилиндра.
Эпюры распределения напряжений сдвига и кручения, а также эпюра суммарных напряжений в точках горизонтального диаметра сечения представлены на рис. 6 .

Из суммарной эпюры видно, что наибольшие касательные напряжения возникают в точке В , ближайшей к оси пружины:

τmax = τсдв + τкр = Q / S + Мкр / Wр = F / (πD 3 / 4) + (FD / 2) / πd 3 / 16) ,

τmax = (8FD / πd 3 ) / (d / 2D + 1) .

Если пружина имеет относительно большой средний диаметр и изготовлена из относительно тонкой проволоки, то первое слагаемое в скобках (соответствующее напряжению сдвига) значительно меньше единицы и в практических расчетах им можно пренебречь; тогда:

Для приближенного расчета цилиндрических пружин на прочность применяется формула:

Поскольку пружины обычно изготавливают из высококачественной стали, допускаемое напряжение принимают равным в пределах [τ] = 200….1000 МПа.

Расчет осадки цилиндрической пружины

Далее выведем формулу для определения уменьшения высоты (осадки) λ пружины. Для этого мысленно разобьем пружину на бесконечно малые участки длиной dl , которые ввиду малости длины будем считать прямолинейными, и учитывая только потенциальную энергию деформации кручения, получим:

где l = πDn длина проволоки пружины.

Работа силы F , приложенной к пружине статически, будет равна W = Fλ / 2 .
Так как W =U , то Мкр = FD / 2 , следовательно Ip = πd 4 / 32 , тогда получаем:

Fλ / 2 =[(Fλ / 2) 2 πDn] / (2G πd 4 / 32) , откуда: λ = 8 FD 3 n / (Dd 4 ) .

Эту формулу можно записать в таком виде:
λ = F / С ,
где: С = Gd 4 / 8D 3 n – коэффициент жесткости пружины.
При λ = 1, С = F , поэтому коэффициент жесткости численно равен силе, вызывающей осадку, равную единице длины.
Отношение среднего диаметра витков к диаметру проволоки обозначают Сn и называют индексом пружины :

Обычно индекс пружин равен Сn = 4….12 .

При более точных расчетах винтовых пружин учитывают кривизну их витков и вводят в числитель формулы (1) поправочный коэффициент К ≈ 1 + 1,45 / Cn .

Пример расчета цилиндрической пружины

Определить диаметр проволоки стальной пружины, если под действием силы F = 800 Н ее осадка λ = 39 мм.
Индекс пружины Сn = 6, число витков n = 14.
Модуль упругости стали пружины G = 8 х 10 4 Мпа, допускаемое напряжение [τ] = 450 МПа.

Решение.

Используя формулу для определения индекса пружины Сn = D / d , получим: D = Сn d . Подставляем это значение D в формулу для определения осадки пружины:

λ = 8 FD 3 n / (Dd 4 ) = 8 FD 3 n / (Gd 4 ) = 8 F Сn 3 d 3 n / (Gd 4 ), откуда найдем d и после подстановки числовых значений получим:

d = 8 F Сn 3 n / λ G = 8 х 800 х 106 х 14 / 39 х 10 -3 х 8 х 104 х 106 = 7 х 10 -3 м = 7 мм.

Итак, диаметр проволоки цилиндрической пружины должен быть не менее 7 мм, а средний диаметр самой пружины D = Сn d = 6 х 7 = 42 мм.