Расчет балки на прогиб; формулы и инструкция

Расчет балки на прогиб – формулы и инструкция

В инженерных и инженерно-строительных науках (сопротивление материалов, строительная механика, теория прочности), под балкой понимается элемент несущей конструкции, воспринимающаяся преимущественно на изгибные нагрузки, и имеющая различные формы поперечного сечения.

  • Основные положения расчетных методик ↓
  • Алгоритм расчета на жесткость ↓
  • Определение моментов инерции и сопротивления сечения ↓
  • Определение максимальной нагрузки и прогиба ↓
  • Особенности расчета на прогиб ↓
  • Разновидности балок, применяемых в строительстве ↓
  • Деревянные ↓
  • Стальные ↓

Конечно, в реальном строительстве, балочные конструкции подвержены и другим видам нагружения (ветровой нагрузке, вибрации, знакопеременному нагружения), однако основной расчет горизонтальных, многоопертых и жесткозакрепленных балок проводится на действие или поперечной, или приведенной к ней эквивалентной нагрузке.

Расчетная схема рассматривает балку как жесткозакрепленный стержень или как стержень, установленный на двух опорах. При наличии 3 и более опор, стержневая система считается статически неопределимой и расчет на прогиб как всей конструкции, так и ее отдельных элементов, значительно усложняется.

При этом, основное нагружение рассматривается как сумма сил, действующая в направлении перпендикулярному сечению. Целью расчета на прогиб является определение максимального прогиба (деформации) который не должен превышать предельных значений и характеризует жесткость как отдельного элемента (так и всей связанной с ней строительной конструкции.

Пример расчета деревянной балки перекрытия.

Расчет выполняется в соответствии со СНиП II-25-80 ( СП 64.13330.2011) «Деревянные конструкции» [1] и применением таблиц [2].

Исходные данные.

Требуется рассчитать балку междуэтажного перекрытия над первым этажом в частном доме.

Материал — дуб 2 сорта.

Срок службы конструкций — от 50 до 100 лет.

Состав балки — цельная порода (не клееная).

Шаг балок — 800 мм;

Длина пролета — 5 м (5 000 мм);

Пропитка антипиренами под давлением — не предусмотрена.

Расчетная нагрузка на перекрытие — 400 кг/м2; на балку — qр = 400·0,8 = 320 кг/м.

Нормативная нагрузка на перекрытие — 400/1,1 = 364 кг/м2; на балку — qн = 364·0,8 = 292 кг/м.

Расчет.

1) Подбор расчетной схемы.

Так как балка опирается на две стены, т.е. она шарнирно оперта и нагружена равномерно-распределенной нагрузкой, то расчетная схема будет выглядеть следующим образом:

2) Расчет по прочности.

Определяем максимальный изгибающий момент для данной расчетной схемы:

Мmax = qp·L 2 /8 = 320·5 2 /8 = 1000 кг·м = 100000 кг·см,

где: qp — расчетная нагрузка на балку;

L — длина пролета.

Определяем требуемый момент сопротивления деревянной балки:

где: R = Rи·mп·mд·mв·mт·γсc = 130·1,3·0,8·1·1·0,9 = 121,68 кг/см 2 — расчетное сопротивление древесины, подбираемое в зависимости от расчетных значений для сосны, ели и лиственницы при влажности 12% согласно СНиП [1] — таблицы 1 [2] и поправочных коэффициентов:

mп = 1,3 — коэффициент перехода для других пород древесины, в данном случае принятый для дуба (таблица 7 [2]).

mд = 0,8 — поправочный коэффициент принимаемый в соответствии с п.5.2. [1], вводится в случае, когда постоянные и временный длительные нагрузки превышают 80% суммарного напряжения от всех нагрузок.

mв = 1 — коэффициент условий работы (таблица 2 [2]).

mт = 1 — температурный коэффициент, принят 1 при условии, что температура помещения не превышает +35 °С.

γсс = 0,9 — коэффициент срока службы древесины, подбирается в зависимости от того, сколько времени вы собираетесь эксплуатировать конструкции (таблица 8 [2]).

γн/о = 1,05 — коэффициент класса ответственности. Принимается по таблице 6 [2] с учетом, что класс ответственности здания I.

В случае глубокой пропитки древесины антипиренами к этим коэффициентам добавился бы еще один: ma = 0.9.

С остальными менее важными коэффициентами вы можете ознакомится в п.5.2 СП 64.13330.2011.

Примечание: перечисленные таблицы вы можете найти здесь.

Определение минимально допустимого сечения балки:

Так как чаще всего деревянные балки перекрытия имеют ширину 5 см, то мы будем находить минимально допустимую высоту балки по следующей формуле:

h = √(6Wтреб/b) = √(6·862,92/5) = 32,2 см.

Формула подобрана из условия Wбалки = b·h 2 /6. Получившийся результат нас не удовлетворяет, так как перекрытие толщиной более 32 см никуда не годится. Поэтому увеличиваем ширину балки до 10 см.

h = √(6Wтреб/b) = √(6·862,92/10) = 22,8 см.

Принятое сечение балки: bxh = 10×25 см.

3) Расчет по прогибу.

Здесь мы находим прогиб балки и сравниваем его с максимально допустимым.

Определяем прогиб принятой балки по формуле соответствующей принятой расчетной схеме:

f = (5·qн·L 4 )/(384·E·J) = (5·2,92·500 4 )/(384·100000·13020,83) = 1,83 см

где: qн = 2,92 кг/cм — нормативная нагрузка на балку;

L = 5 м- длина пролета;

Е = 100000 кг/см2 — модуль упругости. Принимается равным в соответствии с п.5.3 СП 64.13330.2011 вдоль волокон 100000 кг/см2 и 4000 кг/см 2 поперек волокон не взирая на породы при расчете по второй группе предельных состояний. Но справедливости ради нужно отметить, что модуль упругости в зависимости от влажности, наличия пропиток и длительности нагрузок только у сосны может колебаться от 60000 до 110000 кг/см2. Поэтому, если вы хотите перестраховаться, то можете взять минимальный модуль упругости.

J = b·h 3 /12 = 10·25 3 /12 = 13020,83 см 4 — момент инерции для доски прямоугольного сечения.

Определяем максимальный прогиб балки:

fmax = L·1/250 = 500/250 = 2,0 см.

Предельный прогиб определяется по таблице 9 [2], как для междуэтажных перекрытий.

Методика выполнения расчета на прогиб

Прежде чем приступать к расчету, нужно будет вспомнить некоторые зависимости из теории сопротивления материалов и составить расчетную схему. В зависимости от того, насколько правильно выполнена схема и учтены условия нагружения, будет зависеть точность и правильность расчета.

Используем простейшую модель нагруженной балки, изображенной на схеме. Простейшей аналогией балки может быть деревянная линейка, фото.

В нашем случае балка:

  1. Имеет прямоугольное сечение S=b*h , длина опирающейся части составляет L ;
  2. Линейка нагружена силой Q , проходящей через центр тяжести изгибаемой плоскости, в результате чего концы поворачиваются на небольшой угол θ , с прогибом относительно начального горизонтального положения, равным f ;
  3. Концы балки опираются шарнирно и свободно на неподвижных опорах, соответственно, не возникает горизонтальной составляющей реакции, и концы линейки могут перемещаться в произвольном направлении.

Для определения деформации тела под нагрузкой используют формулу модуля упругости, который определяется по соотношению Е=R/Δ , где Е – справочная величина, R — усилие, Δ — величина деформации тела.

Вычисляем моменты инерции и сил

Для нашего случая зависимость будет выглядеть так: Δ = Q/(S·Е) . Для распределенной вдоль балки нагрузки q формула будет выглядеть так: Δ = q·h/(S·Е) .

Далее следует наиболее принципиальный момент. Приведенная схема Юнга показывает прогиб балки или деформацию линейки так, если бы ее раздавливали под мощным прессом. В нашем случае балку изгибают, а значит, на концах линейки, относительно центра тяжести, приложены два изгибающих момента с разным знаком. Эпюра нагружения такой балки приведена ниже.

Чтобы преобразовать зависимость Юнга для изгибающего момента, необходимо обе части равенства умножить на плечо L. Получаем Δ*L = Q·L/(b·h·Е) .

Если представить, что одна из опор жестко закреплена, а на второй будет приложен эквивалентный уравновешивающий момент сил Mmax = q*L*2/8 , соответственно, величина деформации балки будет выражаться зависимостью Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е) . Величину b·h 2 /6 называют моментом инерции и обозначают W . В итоге получается Δх = M·х/(W·Е) основополагающая формула расчета балки на изгиб W=M/E через момент инерции и изгибающий момент.

Читайте также  Сложная крыша

Чтобы точно выполнить расчет прогиба, потребуется знать изгибающий момент и момент инерции. Величину первого можно посчитать, но конкретная формула для расчета балки на прогиб будет зависеть от условий контакта с опорами, на которых находится балка, и способа нагружения, соответственно для распределенной или концентрированной нагрузки. Изгибающий момент от распределенной нагрузки считается по формуле Mmax = q*L 2 /8. Приведенные формулы справедливы только для распределенной нагрузки. Для случая, когда давление на балку сконцентрировано в определенной точке и зачастую не совпадает с осью симметрии, формулу для расчета прогиба приходится выводить с помощью интегрального исчисления.

Момент инерции можно представить, как эквивалент сопротивления балки изгибающей нагрузке. Величину момента инерции для простой прямоугольной балки можно посчитать по несложной формуле W=b*h 3 /12, где b и h – размеры сечения балки.

Из формулы видно, что одна и та же линейка или доска прямоугольного сечения может иметь совершенно разный момент инерции и величину прогиба, если положить ее на опоры традиционным способом или поставить на ребро. Недаром практически все элементы стропильной системы крыши изготавливаются не из бруса 100х150, а из доски 50х150.

Реальные сечения строительных конструкций могут иметь самые разные профили, от квадрата, круга до сложных двутавровых или швеллерных форм. При этом определение момента инерции и величины прогиба вручную, «на бумажке», для таких случаев становится нетривиальной задачей для непрофессионального строителя.

Формулы для практического использования

На практике чаще всего стоит обратная задача – определить запас прочности перекрытий или стен для конкретного случая по известной величине прогиба. В строительном деле очень сложно дать оценку запасу прочности иными, неразрушающими методами. Нередко по величине прогиба требуется выполнить расчет, оценить запас прочности здания и общее состояние несущих конструкций. Мало того, по выполненным измерениям определяют, является деформация допустимой, согласно расчету, или здание находится в аварийном состоянии.

Например, если вы намерены покупать готовое здание, простоявшее достаточно долго на проблемном грунте, нелишним будет проверить состояние перекрытия по имеющемуся прогибу. Зная предельно допустимую норму прогиба и длину балки, можно безо всякого расчета оценить, насколько критическим является состояние строения.

Строительная инспекция при оценке прогиба и оценке несущей способности перекрытия идет более сложным путем:

  • Первоначально измеряется геометрия плиты или балки, фиксируется величина прогиба;
  • По измеренным параметрам определяется сортамент балки, далее по справочнику выбирается формула момента инерции;
  • По прогибу и моменту инерции определяют момент силы, после чего, зная материал, можно выполнить расчет реальных напряжений в металлической, бетонной или деревянной балке.

Вопрос – почему так сложно, если прогиб можно получить, используя для расчета формулу для простой балки на шарнирных опорах f=5/24*R*L 2 /(E*h) под распределенным усилием. Достаточно знать длину пролета L, высоту профиля, расчетное сопротивление R и модуль упругости Е для конкретного материала перекрытия.

Ответ прост — необходимо непросто рассчитать, но и сохранить на бумаге ход выполнения проверочного расчета, чтобы сделанные выводы о состоянии перекрытия можно было проверить и перепроверить по всем этапам проверки.

Расчет на жесткость

Для расчета прочности балки на изгиб применяется формула:

M – максимальный момент, который возникает в балке;

Wn,min – момент сопротивления сечения, который является табличной величиной или определяется отдельно для каждого вида профиля.

Ry является расчетным сопротивлением стали при изгибе. Зависит от вида стали.

γc представляет собой коэффициент условий работы, который является табличной величиной.

Расчет жесткости или величины прогиба балки является достаточно простым, поэтому расчеты может выполнить даже неопытный строитель. Однако для точного определения максимального прогиба необходимо выполнить следующие действия:

  1. Составление расчетной схемы объекта.
  2. Расчет размеров балки и ее сечения.
  3. Вычисление максимальной нагрузки, которая воздействует на балку.
  4. Определение точки приложения максимальной нагрузки.
  5. Дополнительно балка может быть проверена на прочность по максимальному изгибающему моменту.
  6. Вычисление значения жесткости или максимально прогиба балки.

Чтобы составить расчетную схему, потребуются такие данные:

  • размеры балки, длину консолей и пролет между ними;
  • размер и форму поперечного сечения;
  • особенности нагрузки на конструкцию и точно ее приложения;
  • материал и его свойства.

Если производится расчет двухопорной балки, то одна опора считается жесткой, а вторая – шарнирной.

Инструкция к калькулятору

Наш сервис предоставляет на выбор два вида расчета однопролетных балок перекрытия. В первом случае, вам предлагается рассчитать сечение балки при известном шаге между ними, во втором случае, вы можете узнать рекомендуемое значение шага между балками при выбранных характеристиках сечения. Разберем работу калькулятора на примере, когда ваша задача заключается в нахождении сечения балки.

Для расчета вам понадобится знать ряд обязательных начальных параметров. В первую очередь это характеристики самой балки:

  • ширина сечения (толщина), мм;
  • длина пролета балки (на изображении BLN), м;
  • вид древесины (сосна, ель, лиственница…);
  • класс древесины (1/К26, 2/К24, 3/К16);
  • пропитка (есть, нет).

В случае, если вы не знаете толщину предполагаемой балки, в первом блоке следует выбрать пункт «Известно соотношение высоты сечения балки к её ширине — h/b» и указать значение 1,4. Эта наиболее оптимальная величина, которая получена эмпирическим методом и указывается во многих справочниках.

Затем нужно указать условия, в которых будет эксплуатироваться перекрытие:

  • температурный режим ( 50 °C);
  • влажностный режим;
  • присутствуют постоянные повышенные нагрузки или нет.

После этого, сконфигурируйте конструкцию и заполните поля калькулятора:

  • длина стены дома по внутренней стороне, м;
  • шаг между балками, см;
  • полная длина балки (на изображении BFL), м;
  • нагрузка на балку, кг/м 2 ;
  • предельный прогиб в долях пролета.

При необходимости впишите стоимость одного кубометра древесины, для того чтобы узнать общую стоимость всех пиломатериалов.

Также, обратим внимание, что обычно шаг балки не делают меньше 0,3 м, так как это нецелесообразно с экономической точки зрения и больше 1,2 м, так как возможен прогиб чернового пола со всеми вытекающими последствиями.

Когда вы нажмете кнопку «Рассчитать», сервис произведет расчет балки онлайн и выведет на экране рекомендуемые значения сечения подобранной балки.

Кроме того, в блоке «Результаты расчета» вы сможете узнать:

  • параметры балки при расчете на прочность;
  • параметры балки при расчете на прогиб;
  • максимальный прогиб балки, см.

Квалифицированный расчет перекрытия по деревянным балкам — залог долговечности сооружения и безопасность для вашей семьи.

Метод начальных параметров

Метод начальных параметров, является довольно универсальным и простым методом. Используя этот метод можно записывать формулу для вычисления прогиба и угла поворота любого сечения балки постоянной жесткости (с одинаковым поперечным сечением по длине.)

Под начальными параметрами понимаются уже известные перемещения:

  • в опорах прогибы равны нулю;
  • в жесткой заделке прогиб и угол поворота сечения равен нулю.

Теория по методу начальных параметров

Возьмем консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой, моментом, а также распределенной нагрузкой. Таким образом, зададимся такой расчетной схемой, где присутствуют все виды нагрузок, тем самым, охватим всю теоретическую часть по максимуму. Обозначим опорные реакции в жесткой заделке, возникающие под действием внешней нагрузки:

Читайте также  Каркасный дом с односкатной крышей

Выбор базы и обозначение системы координат

Для балки выберем базу с левой стороны, от которой будем отсчитывать расстояния до приложения сил, моментов, начала и конца распределенной нагрузки. Базу обозначим буквой O и проведем через нее систему координат:

Базу традиционно выбирают с левого краю балки, но можно выбрать ее и справа. Тогда в уравнении будут противоположные знаки, это может пригодиться в некоторых случаях, упростит немного решение. Понимание, когда принимать базу слева или справа, придет с опытом решения задач на метод начальных параметров.

Универсальное уравнение прогибов для балки

После введения базы, системы координат и обозначении расстояний а, б, в, г записываем универсальную формулу, с помощью которой, будем рассчитывать прогиб балки (вертикальное перемещение сечения K, находящегося на свободном торце балки): Теперь поговорим об этой формуле, проанализируем так сказать:

  • E – модуль упругости;
  • I – момент инерции;
  • Vk – прогиб сечения K;
  • VO – прогиб сечения O;
  • θO – угол поворота сечения О.

Не буду приводить вывод этой формулы, не хочу отпугивать читателей, продвинутые студенты могут ознакомиться с выводом самостоятельно в учебнике по сопромату. Я только расскажу об основных закономерностях этого уравнения и как записать его для любой балки постоянного сечения.

Итак, изучаем эту формулу с лева направо. В левой части уравнения обознается искомый прогиб, в нашем случае Vk, который дополнительно умножается на жесткость балки — EI:В уравнении всегда учитывается прогиб сечения балки, совпадающего с нашей базой EIVO:

Также всегда учитывается угол поворота сечения совпадающего с выбранной базой. Причем, произведение EIθO всегда умножается на расстояние от базы до сечения, прогиб которого рассчитывается, в нашем примере — это расстояние г.

Следующие компоненты этого уравнения учитывают всю нагрузку находящуюся слева от рассматриваемого сечения. В скобках расстояния от базы до сечения отнимаются расстояния от базы до соответствующей силы или момента, начала или конца распределенной нагрузки.

Скобка, в случае с сосредоточенными силами, возводится в 3 степень и делится на 6. Если сила смотрит вверх, то считаем ее положительной, если вниз, то в уравнении она записывается с минусом:

В случае с моментами, скоба возводится во 2 степень и делится на 2. Знак у момента будет положительный, когда он направлен почасовой стрелке и отрицательным, соответственно, когда против часовой стрелки.

Учет распределенной нагрузки

Теперь поговорим о распределенной нагрузке. Как уже говорилось, в уравнении метода начальных параметров должно учитываться начало и конец распределенной нагрузки, но конец ее совпадает с сечением, прогиб которого мы хотим вычислить, поэтому в уравнение попадает только ее начало.

Причем важно, даже если бы в этом сечении была бы сила или момент, их бы так же не учитывали. Нас интересует все, что находится слева от рассматриваемого сечения.

Для распределенной нагрузки скобочка возводится в 4 степень и делится на 24. Правило знаков такое же, как и для сосредоточенных сил:

Граничные условия

Чтобы решить уравнение нам понадобятся еще кое-какие данные. С первого взгляда в уравнении у нас наблюдается три неизвестных: VK, V O и θO. Но кое-что мы можем почерпнуть из самой схемы. Мы знаем, в жесткой заделке не может быть никаких прогибов, и ни каких поворотов, то есть VO=0 и θO=0, это и есть так называемые начальные параметры или их еще называют граничными условиями. Теперь, если бы у нас была реальная задача, мы бы подставили все численные данные и нашли перемещение сечения K.

Если бы балка была закреплена с помощью шарнирно подвижной и неподвижной опоры, тогда мы бы приняли прогибы в опорах равными нулю, но угол поворота в опорах был бы уже отличен от нуля. Более подробно об этом рассказано в другой моей статье, посвященной методу начальных параметров на примере балки на двух опорах .

Чуть не забыл про еще одну величину, которую часто требуется определять методом начальных параметров. Как известно, при изгибе, поперечные сечения балок помимо того, что перемещаются вертикально (прогибаются) так еще и поворачиваются на какой-то угол. Углы поворота и прогибы поперечных сечений связаны дифференциальной зависимостью.

Если продифференцировать уравнение, которое мы получили для прогиба поперечного сечения K, то получим уравнение угла поворота этого сечения:

Как рассчитывать прогиб для балки дома

Чтобы просчитать, подходит ли конкретная балка для строительства дома, нужно знать такие показатели:

  • M – это тот максимальный момент, который возникает в балке, находящийся по эпюру моментов. Эпюр – это специальный чертеж с изображением пространственная фигура изображается на плоскости.
  • W n, mіn – момент сопротивления сечения (его значение находят по таблице).
  • Ry – сопротивление, что оказывает материал, из которого изготовлен элемент конструкции дома, изгибаясь от нагрузки.
  • Уc – дополнительный показатель (его можно найти в одной из многочисленных таблиц строительных нормативов).

Формула для расчета прогиба представляет из себя неравенство следующего вида (формула № 1):

Чтобы правильно применить формулу, нужно действовать так:

  • Нарисовать схематично балку и ее будущее расположение под крышей дома. Чтобы верно изобразить на чертеже все части исследуемого объекта, нужно знать форму и линейные размеры балки, поперечного сечения, характер будущих нагрузок, материал, из которого балка изготовлена.
  • Записать ее точные размеры.
  • Рассчитать по указанной формуле, чему равно частное максимального момента балки к произведению остальных трех величин.
  • Сравнить полученный результат с единицей: если он меньше или равен 1, то вычисления дают положительный ответ.

Зная значение параметров рассматриваемой балки и сил, действующих на нее, сделав нехитрые вычисления, можно быстро справится с задачей вычисления допустимого прогиба балки дома.

Как рассчитать несущую способность и прогиб

Стоит признать, что за множество лет практики в строительном ремесле был выработан некий канон, который чаще всего используют для того, чтобы провести расчёт несущей способности:

Расчёт прогиба деревянной балки является частью, представленной выше формулы. Буква М указывает нам на данный показатель. Чтобы узнать параметр применяется следующая формула:

M=(ql 2 )/8

В формуле расчёта прогиба есть всего две переменных, но именно они в наибольшей степени определяют, какой в конечном итоге будет несущая способность деревянной балки:

  • Символ q показывает нагрузку, которую способна выдержать доска.
  • В свою очередь буква l — это длина одной деревянной балки.

Насколько важно правильно рассчитать прогиб

Этот параметр крайне важен для прочности всей конструкции. Дело в том, что одной стойкости бруса недостаточно для долгой и надёжной службы, ведь со временем его прогиб под нагрузкой может увеличиваться.

Прогиб не просто портит эстетичный вид перекрытия. Если данный параметр превысит показатель в 1/250 от общей длины элемента перекрытия, то вероятность возникновения аварийной ситуации возрастёт в десятки раз.