Как найти площадь правильного и неправильного шестиугольника

Как найти площадь правильного и неправильного шестиугольника?

Умение определять площадь различных фигур играет немалую роль в жизни каждого человека. Рано или поздно приходится иметь дело с этими знаниями. К примеру, в процессе ремонта помещения для определения необходимого количества рулонов обоев, линолеума, паркета, плитки в ванную или на кухню нужно уметь рассчитывать необходимую площадь.

Знаниями в области геометрии пользовались еще в древнем Вавилоне и других странах. На первых шагах к культуре всегда возникала необходимость измерить участок, расстояние. При строительстве первых значительных сооружений требовались умения выдерживать вертикаль, спроектировать план.

Роль эстетических потребностей людей также имела немалое значение. Украшение жилища, одежды, рисование картин способствовало процессу формирования и накопления сведений в области геометрии, которые люди тех времён добывали опытным путем, по крупицам и передавали из поколения в поколение.

Сегодня знания геометрии необходимы и закройщику, и строителю, и архитектору и каждому простому человеку в быту.

Поэтому нужно учиться рассчитывать площадь различных фигур, и помнить, что каждая из формул может пригодиться впоследствии на практике, в том числе, и формула правильного шестиугольника. Шестиугольником называется такая многоугольная фигура, общее количество углов которой равно шести.

Площадь правильного 6-угольника

Итак, у нас шестиугольная фигура с равными сторонами и углами. В повседневности мы часто имеем возможность встретить предметы правильной шестиугольной формы.

  • гайка;
  • пчелиные соты;
  • снежинка.

Шестиугольная фигура наиболее экономично заполняет пространство на плоскости. Взгляните на тротуарную плитку, одна подогнана к другой так, что зазоров не остается.

Каждый угол равен 120˚. Сторона фигуры равна радиусу описанной окружности.

Призма шестиугольная

Перед рассмотрением вопроса площади основания правильной шестиугольной призмы, сначала познакомимся с этой фигурой. Из названия и приведенной выше классификации призм понятно, что речь пойдет о фигуре, в основании которой лежит шестиугольник. Это означает, что число сторон в такой призме будет равно 8 (два основания и шесть параллелограммов), а число вершин составит 12 (6 + 6). Тогда количество ребер будет равно:

Из этих 18-ти ребер основаниям принадлежат 12.

Если в основании находится правильный шестиугольник, а углы между боковыми сторонами (параллелограммами) и основаниями равны 90 o , то такая фигура будет называться прямоугольной призмой с правильным шестиугольником в основании, или просто правильной шестиугольной призмой. Ее схематическое изображение приводится ниже.

В правильной шестиугольной призме все ребра равны только в том случае, если c = a, где c — высота (длина бокового ребра) и a — длина стороны шестиугольника. В общем случае c ≠ a.

Далее приведем формулы для расчета площади поверхности и объема рассматриваемой призмы. Чтобы это сделать, необходимо знать площадь основания правильной шестиугольной призмы.

Свойства правильного шестиугольника

(по порядку следования формул)

  • Радиус описанной окружности (R) правильного шестиугольника равен его стороне (t)
  • Все внутренние углы равны 120 градусам
  • Радиус вписанной окружности (r) равен корню из трех, деленному на два и умноженному на длину стороны t (радиус описанной окружности R)
  • Периметр правильного шестиугольника (P) равен шести радиусам описанной окружности (R) или четыре корня из трех, умноженным на радиус вписанной окружности (r)
  • Площадь правильного шестиугольника равна трем корням из трех пополам, умноженным на квадрат радиуса описанной окружности (R) или квадрат стороны (t); либо площадь правильного шестиугольника равна двум корням из трех, умноженным на квадрат радиуса вписанной окружности (t)

Объем призмы

Эта важная величина для любого реального объекта в случае призмы находится просто: необходимо лишь умножить площадь основания на высоту фигуры, то есть:

Поскольку мы рассматриваем прямоугольную призму, то ее высота равна длине бокового ребра, то есть h = c. Тогда формула для объема правильной шестиугольной призмы запишется в виде:

Таким образом, для определения площади и объема рассматриваемой фигуры необходимо знать длину ее ребра в основании и на боковой поверхности.

Площадь правильного шестиугольника

Правильным шестиугольником называют шестиугольную фигуру, которая имеет равные стороны. Углы у правильного шестиугольника также между собой равны.

В повседневной жизни мы часто можем встретить предметы, имеющие форму правильного шестиугольника. Это и металлическая гайка, и ячейки пчелиных сот, и структура снежинки. Шестиугольными фигурами отлично заполняются плоскости. Так, например, при мощении тротуарной плитки мы можем наблюдать, как плитка укладывается одна возле другой, не оставляя пустых мест.

Свойства правильного шестиугольника

  • Правильный шестиугольник всегда будет иметь равные углы, каждый из которых составляет 120˚.
  • Сторона фигуры равняется радиусу описанной окружности.
  • Все стороны в правильном шестиугольнике равны.
  • Правильный шестиугольник плотно заполняет плоскость.

Как посчитать площадь правильного шестиугольника?

Площадь правильного шестиугольника можно рассчитать, разбив его на шесть треугольников, каждый из которых будет иметь равные стороны.

Для расчета площади правильного треугольника используется следующая формула:

Зная площадь одного из треугольников, можно легко рассчитать площадь шестиугольника. Формула для ее расчета проста: поскольку правильный шестиугольник — это шесть равных треугольников, следует площадь нашего треугольника умножить на 6.

Если провести от центра фигуры к любой из ее сторон перпендикуляр, получим отрезок, который называется апофема. Рассмотрим, как найти площадь шестиугольника при известной апофеме:

  1. Площадь = ½*периметр*апофему.
  2. Предположим, наша апофема равняется 5√3 см.

  1. Используя апофему, находим периметр: Поскольку апофема расположена перпендикулярно к стороне шестиугольника, то углы треугольника, созданного при помощи апофемы, будут равняться 30˚—60˚—90˚. Каждая сторона полученного треугольника будет соответствовать: x-x√3−2x, где короткая сторона, которая расположена напротив угла в 30˚— это x, длинная сторона, расположенная напротив угла в 60˚ — это x√3, а гипотенуза — 2x.
  2. Поскольку апофема представлена, как x√3, можно подставить ее в формулу a = x√3 и решить. Если, к примеру, апофема = 5√3, тогда подставим эту величину в формулу и получим: 5√3 см = x√3, или x = 5 см.
  3. Итак, короткая сторона треугольника равняется 5 см. поскольку эта величина является половиной длины стороны шестиугольника, умножаем 5 на 2 и получим 10 см, которая является длиной стороны.
  4. Зная длину стороны, умножим её на 6 и получим периметр шестиугольника:10 см х 6 = 60 см
  5. Подставим полученные результаты в нашу формулу:

Теперь осталось упростить ответ, чтобы избавиться от квадратных корней, а полученный результат укажем в квадратных сантиметрах:

½ * 60 см * 5√3 см =30 * 5√3 см =150 √3 см =259.8 см²

Видео о том, как найти площадь правильного шестиугольника

Выпуклый шестиугольник

Гескагон — это правильный выпуклый многоугольник, соответственно, все его углы равны, все стороны равны, а если провести отрезок через две соседние вершины, то вся фигура окажется по одну сторону от этого отрезка. Как и в любой правильный n-угольник, вокруг гексагона можно описать окружность или вписать ее вовнутрь. Главная особенность шестиугольника заключается в том, что длина радиуса описанной окружности совпадает с длиной стороны многоугольника. Благодаря этому свойству можно легко найти площадь гексагона по формуле:

S = 2,59 R 2 = 2,59 a 2 .

Кроме того, радиус вписанной окружности соотносится со стороной фигуры как:

Читайте также  Вес швеллера 10

Из этого следует, что вычислить площадь шестиугольника можно, оперируя одной из трех переменных на выбор.

Гексаграмма

Звездчатый правильный шестиугольник предстает перед нами в виде шестиконечной звезды. Такая фигура образуется путем наложения друг на друга двух равносторонних треугольников. Самой известной реальной гексаграммой является Звезда Давида — символ еврейского народа.

Площадь шестиугольника

Получим формулу площади правильного шестиугольника. Для этого рассмотрим эту плоскую фигуру, которая изображена на рисунке ниже.

Видно, что многоугольник состоит из шести одинаковых сторон, которые образуют угол 120o. Поскольку этих углов шесть, то их сумма составит 720o.

Рисунок также показывает, что правильный шестиугольник гармонично вписывается в окружность. Если соединить центр окружности с каждой вершиной фигуры, то получим 6 одинаковых треугольников. Поскольку угловая мера всей окружности составляет 360o, то соответствующие углы треугольника равны 60o (360o/6). Они обозначены на рисунке. Поскольку каждый серый отрезок делит угол шестиугольника пополам, то оставшиеся два треугольника также равны по 60o. Это означает, что изображенные 6 треугольников являются равносторонними. Длина каждой из их сторон равна стороне шестиугольника, обозначим ее буквой a.

Из курса геометрии известно, что площадь S3 любого треугольника равна произведению его высоты h на сторону a, к которой она проведена, деленному пополам, то есть:

Длину h легко вычислить, используя понятие о тригонометрической функции. Она равна:

h = a*cos(30o) = a*√3/2

Тогда площадь всего треугольника равна:

Умножая эту площадь на 6, получаем формулу площади правильного шестиугольника:

Для полноты информации следует отметить, что существует формула площади правильного многоугольника с произвольным количеством сторон n. Ниже приведено соответствующее выражение:

Если подставить в это выражение значение n = 6, то мы получим формулу площади основания правильной шестиугольной призмы, которая совпадет с приведенной выше.

Заметим, что деление шестиугольника на 6 равносторонних треугольников означает, что шестиугольная призма состоит из 6 правильных треугольных призм.

Примеры из реальной жизни

Гигантский гексагон

Гигантский гексагон — уникальное атмосферное явление на Сатуре, которое выглядит как грандиозный вихрь в форме правильного шестиугольника. Известно, что сторона гигантского гексагона составляет 13 800 км, благодаря чему мы можем определить площадь «облака». Для этого достаточно ввести значение стороны в форму калькулятора и получить результат:

Таким образом, площадь атмосферного вихря на Сатурне приблизительно составляет 494 777 633 квадратных километров. Поистине впечатляет.

Гексагональные шахматы

Мы все привыкли к шахматному полю, разделенному на 64 квадратные ячейки. Однако существуют и гексагональные шахматы, игровое поле которых разделено на 91 правильный шестиугольник. Давайте определим площадь игровой доски для гексагональной версии известной игры. Пусть сторона ячейки составляет 2 сантиметра. Площадь одной игровой клетки составит:

Тогда площадь всей доски будет равна 91 × 10,39 = 945,49 квадратных сантиметров.